Blog

Như nào được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn?

Một tứ giác có 4 đỉnh cùng nằm trên một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn

Khi đó, đường tròn được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Theo như hình trên thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O vì có 4 đỉnh A, B, C, D đều nằm trên đường tròn.

Định lý của tứ giác nội tiếp đường tròn

Định lý thuận

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo của hai góc đối diện luôn bằng 180⁰

Ví dụ: Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ( như hình bên dưới )

=> ^A + ^C = 70⁰ + 110⁰ = 180⁰ ; ^B + ^D = 180⁰

Định lý đảo

Nếu một tứ giác có tổng các góc đối bằng 180⁰ thì tứ giác đó nội tiếp được trong đường tròn.

Hệ quả của tứ giác nội tiếp đường tròn

• Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
• Góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn một cung.
• Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp

• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
• Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a

* Lưu ý: Trong các hình đã học thì có hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân luôn luôn nội tiếp một đường tròn.

6 phương pháp chứng minh một tứ giác nội tiếp

Căn cứ vào định nghĩa, định lý cũng như các hệ quả của một tứ giác nội tiếp. Từ đó có 6 cách chứng minh một tứ giác được gọi là nội tiếp. 6 cách đó như sau:

Phương pháp 1: Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối nhau bằng 180⁰

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°

Phương pháp này được xuất phát từ chính định nghĩa của tứ giác nội tiếp. Nội dung của phương pháp này như sau: “Nếu tứ giác ABCD có tổng hai góc đối bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp”

Hệ quả của nội dung này là:

Cho tứ giác ABCD:

+ Nếu BAD = BCD = 90 độ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BD

+ Nếu tổng hai góc kề bù EAD = BCD thì tứ giác ABCD nội tiếp

Ví dụ 1:

Cho tứ giác ABCD:

• Nếu ta chứng minh được ^BAD = ^BCD = 90⁰ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BD
• Hoặc ^ACD = ^ABC = 90⁰ thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AC

Ví dụ 2:

Cho tứ giác ABCD, chúng ta cần chứng minh ^A + ^C = 180° hoặc ^B + ^D = 180°, thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

Phương pháp 2: Chứng minh qua góc ngoài của tứ giác

Phương pháp này ta chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện => tứ giác đó nội tiếp

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD, nếu chứng minh được góc ngoài tại đỉnh A bằng góc trong tại đỉnh C (tức là góc C của tứ giác đó) vì góc A và góc C đối đỉnh thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Lưu ý ở cách làm này bạn phải chú ý vẽ đúng hình, đúng góc để có thể đưa ra kết quả đúng và tiếp tục làm các câu tiếp theo.

Phương pháp 3: Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau

Cho tứ giác ABCD

Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC

Phương pháp này áp dụng khi đề bài cho tứ giác ABCD và những dữ kiện gợi ý tính được rằng DAC = DBC = 90 độ. Từ đó, học sinh có thể kết luận tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.

Phương pháp 4: Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó

Chứng minh bốn đỉnh của một tứ giác cách đều một điểm xác định là tứ giác nội tiếp

Khi đề bài cho trước tứ giác ABCD có đường tròn tâm O, bán kính R thì bất cứ điểm nào nằm trên đường tròn này đều cách tâm O một khoảng đúng bằng bán kính R. Dựa vào tính chất này, bạn có thể dễ dàng chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn tâm O có bán kính R.

Ví dụ: Cho một điểm O cố định và tứ giác ABCD như hình minh hoạ bên dưới

Nếu các bạn chứng minh được điểm O cách đều 4 điểm A, B, C, D với khoảng cách bằng R, tức OA = OB = OC = OD = R thì điểm O chính là tâm đường tròn. Hay nói cách khác, có thể suy ra tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R.

Phương pháp 5: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng nhau thì tứ giác đó nội tiếp

Chứng minh tứ giác có tổng số đo hai cặp góc đối diện bằng nhau là tứ giác nội tiếp

Phương pháp này chính là một trường hợp đặc biệt của phương pháp chứng minh thứ 2.

Ví dụ: Cho tứ giác ABCD và nếu chứng minh được tổng số đo hai góc: A + C = B + D thì có thể suy ra là tứ giác ABCD nội tiếp

Phương pháp 6: Chứng minh dựa vào phương pháp phản chứng

Chứng minh dựa vào phương pháp phản chứng để có thể kết luận là tứ giác nội tiếp

Bạn có thể chứng minh tứ giác ABCD được đề bài cho sẵn theo phương pháp này, thành một trong số các hình đặc biệt là hình thang cân, hình vuông và hình chữ nhật. Sau đó, dựa vào tính chất cơ bản của các hình này, dễ dàng suy ra tứ giác ABCD nội tiếp. 

Tóm lại, chúng ta chứng minh tứ giác ABCD là một trong những hình đặc biệt: Tứ giác ABCD là hình thang cân, hình chữ nhật hay hình vuông. Từ đó có thể suy ra tứ giác đó nội tiếp.

Những chú ý khi làm bài chứng minh một tứ giác nội tiếp

• Các bạn nên vẽ hình to, rõ ràng, dễ nhìn và tránh vẽ hình tại một số trường hợp đặc biệt.
• Các kí hiệu góc, đoạn thẳng bằng nhau cần được đánh dấu rõ ràng hoặc có thể kí hiệu bằng bút khác màu để dễ nhìn hơn.
• Bám vào giả thiết đề bài đưa ra và áp dụng kiến thức đã học để làm bài cho hiệu quả.
• Những yêu cầu của đề bài cũng có thể là hướng gợi ý để giải quyết bài toán một cách dễ dàng.
• Không dùng những điều bạn đang cần chứng minh để chứng minh ngược lại chúng.